Новый математический блог для подготовки к ЗНО

Уважаемые читатели!
Нами открыт новый математический блог для обсуждения вопросов о ЗНО 2016 и последующих лет. Находится он по адресу: evolventa.blogspot.com

Решения 2 дня ЗНО: треугольник

Начинаем разбор задач второго дня ЗНО. Как обычно, на второй день задачи сложнее, видимо, чтобы скомпенсировать дополнительный день на подготовку. Но всё равно, все задачи вполне в рамках школьного курса и решаются без особых сложностей.

Задача 14. Треугольник
В треугольнике АВС точка М - середина стороны ВС. АC = 24 см. Найдите расстояние d от точки М до стороны АВ, если площадь треугольника АВС равна 96 см$^2$.

Варианты ответа:
А: 8 см; Б: 6 см; В: 4 см; Г: 3 см; Д: 2 см;

Решение
Зная площадь, треугольника, можно найти высоту h, опущенную из вершины В на основание АС.
$S=\frac{1}{2}ah$
$h=\frac{2S}{a}$
$h=\frac{2\cdot 96}{12}$
h=8 см.

По теореме Фалеса, перпендикуляр, опущенный из середины стороны  ВС на сторону АС, будет вдвое меньше, т.е. будет равняться 4 см.

Ответ: В: 4 см;

Разбор задач 25, 26 и 29: проценты, выражения и вероятность

Задача 25 Проценты
Положительное число А больше положительного числа В в 3,8 раз. На сколько процентов число А больше числа В?

Решение
В задачах на проценты, где не даются фиксированные величины, удобно брать какую-то из величин за 100, а остальные выводить из неё. В данном случае пусть В=100. Тогда А = 380. Понятно, что 380 на 280 больше, чем 100.

Разбор задачи 20: квадрат в треугольнике

Задача 20: Квадрат в треугольнике

В треугольник ABC вписан квадрат KLMN (см.рисунок). Высота этого треугольника, опущенная на сторону АС, равна 6 см. Найдите периметр квадрата, если АС = 10 см.

Варианты ответа:
А: 7,5 см Б: 12,5 см В: 17,5 см Г: 15 см Д: 20 см

Разбор задачи 28: Период тригонометрической функции

Задача 28 Период тригонометрической функции
Найдите наименьший положительный период функции $f(x)=9-6cos(20\pi x+7)$

Решение
Большинство компонентов этой формулы – просто «дым и зеркала», отвлекающий маневр, чтобы запутать абитуриента. Стоит помнить главное: на период функции влияет только умножение «икса» на число.

В данном случае х умножен на $20\pi$. Это значит, что график функции сожмётся в $20\pi$ раз вдоль оси Ох. И если период косинуса равен $2\pi$, то период данной функции составит $\frac{2\pi }{20\pi }=\frac{1}{10}=0,1$

Ответ: 0,1

Разбор задачи 31: график параболы и первообразная

Задача 31. График, парабола и производная
На рисунке изображён график функции $F(x)=x^2+bx+c$, вляющейся первообразной для функции f(x). Определите параметры b и c, найдите функцию f(x). В ответ запишите значение f(-8).

Решение
Если F(x) – первообразная для функции f(x), то f(x) –производная для F(x). $f(x) = (x^2+bx+c)’=2x+b$.
f(-8) = -16+b. Так что знать с для того, чтобы ответить на эту задачу, и не нужно.

Разбор задачи 32: пирамида с трапецией в основании

Задача 32 Стереометрия, Пирамида, Трапеция

Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD (AD||BC), длина средней линии которой равна 5 см. Боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания пирамиды и вдвое длиннее средней линии трапеции ABCD. Найдите расстояние от середины ребра SD до плоскости SBC (в см), если объём пирамиды равен 210 см$^3$

Решение
Изобразим данную пирамиду. Т.к. ребро SB перпендикулярно плоскости основания, то и плоскости SBA и SBC также перпендикулярны плоскости основания. Само ребро SB будет высотой пирамиды (H). Его длина равна 2х5=10 см.