Решения 2 дня ЗНО: треугольник

Начинаем разбор задач второго дня ЗНО. Как обычно, на второй день задачи сложнее, видимо, чтобы скомпенсировать дополнительный день на подготовку. Но всё равно, все задачи вполне в рамках школьного курса и решаются без особых сложностей.

Задача 14. Треугольник
В треугольнике АВС точка М - середина стороны ВС. АC = 24 см. Найдите расстояние d от точки М до стороны АВ, если площадь треугольника АВС равна 96 см$^2$.

Варианты ответа:
А: 8 см; Б: 6 см; В: 4 см; Г: 3 см; Д: 2 см;

Решение
Зная площадь, треугольника, можно найти высоту h, опущенную из вершины В на основание АС.
$S=\frac{1}{2}ah$
$h=\frac{2S}{a}$
$h=\frac{2\cdot 96}{12}$
h=8 см.

По теореме Фалеса, перпендикуляр, опущенный из середины стороны  ВС на сторону АС, будет вдвое меньше, т.е. будет равняться 4 см.

Ответ: В: 4 см;

Разбор задач 25, 26 и 29: проценты, выражения и вероятность

Задача 25 Проценты
Положительное число А больше положительного числа В в 3,8 раз. На сколько процентов число А больше числа В?

Решение
В задачах на проценты, где не даются фиксированные величины, удобно брать какую-то из величин за 100, а остальные выводить из неё. В данном случае пусть В=100. Тогда А = 380. Понятно, что 380 на 280 больше, чем 100.

Разбор задачи 20: квадрат в треугольнике

Задача 20: Квадрат в треугольнике

В треугольник ABC вписан квадрат KLMN (см.рисунок). Высота этого треугольника, опущенная на сторону АС, равна 6 см. Найдите периметр квадрата, если АС = 10 см.

Варианты ответа:
А: 7,5 см Б: 12,5 см В: 17,5 см Г: 15 см Д: 20 см

Разбор задачи 28: Период тригонометрической функции

Задача 28 Период тригонометрической функции
Найдите наименьший положительный период функции $f(x)=9-6cos(20\pi x+7)$

Решение
Большинство компонентов этой формулы – просто «дым и зеркала», отвлекающий маневр, чтобы запутать абитуриента. Стоит помнить главное: на период функции влияет только умножение «икса» на число.

В данном случае х умножен на $20\pi$. Это значит, что график функции сожмётся в $20\pi$ раз вдоль оси Ох. И если период косинуса равен $2\pi$, то период данной функции составит $\frac{2\pi }{20\pi }=\frac{1}{10}=0,1$

Ответ: 0,1

Разбор задачи 31: график параболы и первообразная

Задача 31. График, парабола и производная
На рисунке изображён график функции $F(x)=x^2+bx+c$, вляющейся первообразной для функции f(x). Определите параметры b и c, найдите функцию f(x). В ответ запишите значение f(-8).

Решение
Если F(x) – первообразная для функции f(x), то f(x) –производная для F(x). $f(x) = (x^2+bx+c)’=2x+b$.
f(-8) = -16+b. Так что знать с для того, чтобы ответить на эту задачу, и не нужно.

Разбор задачи 32: пирамида с трапецией в основании

Задача 32 Стереометрия, Пирамида, Трапеция

Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD (AD||BC), длина средней линии которой равна 5 см. Боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания пирамиды и вдвое длиннее средней линии трапеции ABCD. Найдите расстояние от середины ребра SD до плоскости SBC (в см), если объём пирамиды равен 210 см$^3$

Решение
Изобразим данную пирамиду. Т.к. ребро SB перпендикулярно плоскости основания, то и плоскости SBA и SBC также перпендикулярны плоскости основания. Само ребро SB будет высотой пирамиды (H). Его длина равна 2х5=10 см.

Разбор задачи 33: уравнение с логарифмом, синусом и корнем

Задача 33 Логарифмы, Тригонометрия, Корни, Уравнения
Найдите значение параметра а, при котором корень уравнения $\lg(\sin5\pi x)=\sqrt{16+a-x}$ принадлежит промежутку $\left(\frac{3}{2};2\right)$

Решение
Казалось бы, в школе вы таких уравнений, где в одной части логарифм, а в другой – корень, вы не решали. Задачи подобного типа из года в год встречаются в ЗНО и решаются с помощью логических рассуждений об областях значений левой и правой части.

Разбор задач 5-8 ЗНО: Степени, Геометрия, Прогрессия, Графики

Задача 5 Степени
Вычислите $\frac{2^6\cdot 5^6}{10^4}$
Варианты ответа:
А: $10^1,5$ Б: $10^2$ В: $10^8$ Г: $10^9$ Д: $10^10$

Решение
Т.к. 10 = 2х5, то $\frac{2^6\cdot 5^6}{10^4}=\frac{10^6}{10^4} = 10^2$ Мы использовали основные формулы возведения произведения в степень и деления степеней.

Ответ: Б: $10^2$

Разбор задач 1-4 ЗНО: Пропорции, Многочлены, Стереометрия, Графики

Задача 1 Пропорции
Найдите m из соотношения $\frac{m}{2}=\frac{3}{n}$, где $n\neq 0$
Варианты ответа:
А: $m=6n$ Б: $m=\frac{6}{n}$ В: $m=\frac{2n}{3}$ Г: $m=\frac{3}{2n}$ Д: $m=\frac{n}{6}$

Решение
По свойству пропорции: mn=6. Поэтому неизвестный множитель находим как: $m=\frac{6}{n}$

Ответ:
Б: $m=\frac{6}{n}$

Как правильно ответить на ЗНО, если не знаешь, что отвечать

Есть полезный приём, который может помочь правильно ответить на вопрос, решать который вы не умеете. Рассмотрим его на показательном уравнении из сегодняшнего ЗНО. Может быть, кому-то он поможет завтра.

Задача 16. Решите неравенство $2^x\leq 3$
Варианты ответа:
A: $(-\infty;\log_2 3]$; Б: $(0;\log_2 3]$; В: $(-\infty;\frac{3}{2}]$; Г: $(-\infty;\log_3 2]$; Д:$ [\log_2 3; +\infty)$

Допустим, мы не имеем решать показательные уравнения. Но посмотрим на варианты ответа как на логическую задачку. Ответим для себя на вопросы:

Как решать задачи на растворы

Сейчас идёт ажиотаж вокруг подготовки к ЗНО по математике. Выпускники повторяют весь школьный курс математики, чуть ли не с первого класса. И один из видов задач, который вызывает трудности - это задачи на растворы.

Вот, буквально сейчас в группе, посвящённой ЗНО я увидел просьбу:
Кто знает как решать такие задачи: "Сколько литров 5-процентного раствора соли надо добавить к 30 литрам 12-процентного раствора соли, чтобы получить 9-процентный раствор соли?"

Для задач на сплавы и растворы есть очень удобный способ решения, называется он "Правило креста". Научила меня ему лет 15 назад моя учительница химии, Татьяна Васильевна Колмакова, теперь я поделюсь этим способом с вами.

Отмечаем на бумаге 5 ячеек и соединяем их линиями:

В центральную ячейку пишем нужную концентрацию, а в две левых - концентрации имеющихся растворов (при этом, чистое вещество обозначается числом 100, а чистая вода - числом 0).

И, наконец, вдоль каждой диагональной линии выполняем вычитание меньшего числа из большего и записываем результаты в оставшиеся пустые ячейки.

Выходит, что первого раствора нужно взять 3 части, а второго - 4 части. Т.к. второго раствора у нас 30 литров, то первого нужно взять 22,5 литра.

Пока есть время, рекомендую поразбирать ответы на задачи ЗНО по математике прошлых лет и подходы к их решениям. Может быть, что-то из материалов поможет на тестировании этого года.

Программа внешнего независимого оценивания по математике

Цель ЗНО по математике:
Оценить степень готовности участников тестирования с целью конкурсного отбора для обучения высших учебных заведениях.

Задачи внешнего независимого оценивания по математике состоят в том, чтобы оценить знания и умения участников:

- Строить математические модели реальных объектов, процессов и явлений, и исследовать эти модели средствами математики;
- Выполнять математические расчеты (выполнять действия с числами, представленными в разных формах, действия с процентами, составлять и решать задачи на пропорции, приближенные вычисления и др.);
- Выполнять преобразования выражений (понимать смысловое значение каждого элемента выражения, находить допустимые значения переменных, находить числовые значения выражений при заданных значениях переменных и др.);
- Строить и анализировать графики простейших функциональных зависимостей, исследовать иx свойства;
- Решать уравнения, нepавенства и их системы, решать текстовые задачи с помощью уравнений, неравенств и иx систем;
- Находить на рисунках геометрические фигуры и устанавливать иx свойства;
- Находить количественные  характеристики геометрических фигур (длины, величины кyтiв, площади, объемы);
- Решать простейшие комбинаторные задачи и вычислять вероятности случайных событий;
- Анализировать информацию, которая представлена в графической, табличной, текстовой и иных формах.

Характеристика теста по математике

Содержание теста определяется на основе Программы внешнего независимого оценивания по математике (утверждена Министерством образования и науки, молодежи и спорта Украины, приложение № 4 к приказу № 791 от 14.07.2011 г.).

Общее количество заданий теста - 33.

На выполнение теста отведено 150 минут.

Тест по математике состоит из заданий трех видов:

1. Задания с выбором одного правильного ответа (№ 1-20). К каждому заданию даётся пять вариантов ответа, из которых только один правильный. Задание считается выполненным, если абитуриент выбрал и обозначил правильный ответ в бланке ответов А.

2. Задания на установление соответствия (логические пары) (№ 21-24). К каждому заданию представлена ​​информация, обозначенная цифрами (слева) и буквами (справа). Чтобы выполнить задание, необходимо установить соответствие информации, обозначенной цифрами и буквами (образовать логические пары). Задание считается выполненным, если абитуриент правильно сделал пометки на пересечениях строк (цифры от 1 до 4) и колонок (буквы от А до Д) в таблице бланка ответов А.

3. Задания открытой формы с кратким ответом (№ 25-33). При выполнении этих задач нужно вписать полученный числовой результат той размерности, указанной в условии задачи, в бланк ответов А.

Схемы оценивания заданий теста по математике:

1. Задания с выбором одного правильного ответа оценивается в 0 или 1 тестовый балл:1 балл, если указан правильный ответ, 0 баллов, если указан неправильный ответ, или указано более одного ответа, или ответ не предоставлен.

2. Задания на установление соответствия (логические пары) оценивается в 0, 1, 2, 3 или 4 тестовых балла: 1 балл за каждое правильно установленное соответствие (логическую пару), 0 баллов, если не указано ни одной правильной логической пары или ответы на задание не предоставлены .

3. Задания открытой формы с кратким ответом оценивается 0 или 2 тестовыми баллами: 2 балла, если указан правильный ответ, 0 баллов, если указан неправильный ответ или задание вообще не выполнено.

Решение задач в черновике не проверяются и не учитываются.

Максимальное количество баллов, которое можно набрать, правильно выполнив все задания теста по математике - 54.

Для подготовки рекомендуем вам разобрать ответы на все ЗНО с 2009 года.

Расписание внешнего тестирования по математике

Внешнее тестирование по математике 2013 года пройдёт в два дня: 12 и 13 июня. Как правило, задачи на второй день даются более сложные, но тематика совпадает. Поэтому, если вам выпало писать ЗНО 13го, вечером 12го числа ждите разбора решений и ответов на задачи первого дня.

Также рекомендуем почитать блоги ЗНО 2012, ЗНО 2011 и ЗНО 2010 по математике. Там ответы на задачи внешнего тестирования и, главное, разбор их решений.