Разбор задачи 32: пирамида с трапецией в основании

Задача 32 Стереометрия, Пирамида, Трапеция

Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD (AD||BC), длина средней линии которой равна 5 см. Боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания пирамиды и вдвое длиннее средней линии трапеции ABCD. Найдите расстояние от середины ребра SD до плоскости SBC (в см), если объём пирамиды равен 210 см$^3$

Решение
Изобразим данную пирамиду. Т.к. ребро SB перпендикулярно плоскости основания, то и плоскости SBA и SBC также перпендикулярны плоскости основания. Само ребро SB будет высотой пирамиды (H). Его длина равна 2х5=10 см.


Далее, по теореме Фалеса, расстояние от середины ребра SD до плоскости SBC будет вдвое меньше, чем расстояние от точки D до плоскости SBC. А т.к. плоскоcть SBC перпендикулярна основанию, то таким расстоянием будет высота трапеции h.

Найдём его вот каким образом.
Формула объёма: $V=\frac{1}{3}S_{OCH}H$
$210=\frac{1}{3}S_{OCH}\cdot 10$

Нашли площадь основания: $S_{OCH}=63$

Т.к. в основании трапеция, её площадь равна произведению средней линии на высоту.
5h=63
h=12,6 (кстати, вот, как в уме быстро делить на 5)

Т.к. высота основания трапеции равна 12,6 см, то искомое расстояние равно 6,3 см.
Ответ: 6,3 см.