Начинаем разбор задач второго дня ЗНО. Как обычно, на второй день задачи сложнее, видимо, чтобы скомпенсировать дополнительный день на подготовку. Но всё равно, все задачи вполне в рамках школьного курса и решаются без особых сложностей.
Задача 14. Треугольник
В треугольнике АВС точка М - середина стороны ВС. АC = 24 см. Найдите расстояние d от точки М до стороны АВ, если площадь треугольника АВС равна 96 см$^2$.
Варианты ответа:
А: 8 см; Б: 6 см; В: 4 см; Г: 3 см; Д: 2 см;
Решение
Зная площадь, треугольника, можно найти высоту h, опущенную из вершины В на основание АС.
$S=\frac{1}{2}ah$
$h=\frac{2S}{a}$
$h=\frac{2\cdot 96}{12}$
h=8 см.
По теореме Фалеса, перпендикуляр, опущенный из середины стороны ВС на сторону АС, будет вдвое меньше, т.е. будет равняться 4 см.
Ответ: В: 4 см;
Задача 14. Треугольник
В треугольнике АВС точка М - середина стороны ВС. АC = 24 см. Найдите расстояние d от точки М до стороны АВ, если площадь треугольника АВС равна 96 см$^2$.
Варианты ответа:
А: 8 см; Б: 6 см; В: 4 см; Г: 3 см; Д: 2 см;
Решение
Зная площадь, треугольника, можно найти высоту h, опущенную из вершины В на основание АС.
$S=\frac{1}{2}ah$
$h=\frac{2S}{a}$
$h=\frac{2\cdot 96}{12}$
h=8 см.
По теореме Фалеса, перпендикуляр, опущенный из середины стороны ВС на сторону АС, будет вдвое меньше, т.е. будет равняться 4 см.
Ответ: В: 4 см;
Все верно, но в чистом виде теорема Фалеса звучит так:
ОтветитьУдалить"если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне".
Так что из самой теоремы Фалеса следует не совсем то, что Вы сказали. Из теоремы Фалеса следует:
если обозначить основание высоты, опущенной из вершины В на АС, как В', а основание перпендикуляра, опущенного из точки M на АC, как M' (а два перпендикуляра к одной прямой параллельны между собой), то B'M' = M'C. А уже из этого (по определению средней линии треугольника) следует, что MM'- средняя линия треугольника BB'C. И поэтому (по свойству средней линии треугольника) ММ'= 1/2 BB'.
Так будет, мне кажется, точнее. Кстати, для наглядности высоту из вершины В на АС не мешает изобразить на рисунке.
Этот комментарий был удален автором.
УдалитьВ чистом виде теорема Фалеса звучит как раз по-другому: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки (и даже более) Проведем высоту BH и введем обозначение d=MD. Имеем, BM:MC=HD:DC=BH:MD. А то, что привели Вы в качестве теремы Фалеса в чистом виде - это частный случай общей теоремы Фалеса. Так что все верно. ВС:ВМ=h:d.
ОтветитьУдалитьСобственно, этот вывод так же следует из подобия прямоугольных треугольников МСD и BCH.
Алексей, объясните, пожалуйста, решение 3-й части 2-й сессии
ОтветитьУдалитьДа-да, сегодня напишу, вчера работы было много.
УдалитьОсобенно решение задачи 33.
УдалитьПроще всего эта задача (№33 второй сессии) решается графически - менее, чем за минуту. Что очень важно для тестов.
УдалитьВо всяком случае, тот вариант, который я видела. Там слева фигурировал корень из /x/-1 и семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом 2.
Графически я ее и решил, но ответ там увы для моего уравнения вышел не -2.
УдалитьНет, там ответ -1,625.
УдалитьВы не заметили, что при а=-2 график прямой проходит не только через точку (1;0), но есть еще одна точка пересечения графиков, т.е уравнение имеет 2 решения.
И это происходит еще на небольшом участке, когда параметр a больше -2.
Наибольшее отрицательное значение параметра находим из условия: прямая y=2x+a должна быть касательной к правой ветке иррациональной функции, т.е. прозводная от корня должна быть=2 (угловой коэффициент).
Дифференцируем корень и приравниваем эту производную 2. Из этого условия элементарно находится абсцисса точки касания. Подставив это значение в иррациональную функции также элементарно находится ордината точки касания. Итак, точкой касания будет точка ((17/16;1/2).
Теперь требуем, чтобы и прямая y=2x+a проходила через эту точку. Получаем: 1/2 = 2*(17/16)+ a, откуда получаем a=-13/8 = -1,625.
Кстати, вторая сессия на этот раз была действительно несколько сложнее первой. А задача с диаграммой потрясла меня своей тупостью.
УдалитьГде это Вы видели теорему Фалеса "в чистом виде" в приведенной Вами формулировке? С этим "и тем более"? Приведите мне ссылку на литературу, пожалуйста. Я не геометр по специализации и, возможно, я не в курсе последних событий:)
ОтветитьУдалить1) В старых учебниках Киселева при формулировке всех этих фактов фамилия Фалеса вообще не упоминалась - просто фигурировала как "одна из теорем, основанных на свойствах параллелограмма".
2) Фимилия Фалеса возникла только в "Геометрии" Погорелова. Но возникла она как раз в той формулировке, в которой привела ее я. А под ОБОБЩЕННОЙ теоремой Фалеса там фигурировала теорема с аналогичной формулировкой, но только "равные отрезки" были заменены на "пропорциональные отрезки". В таком виде и Вы ее приводите, если исключить "и тем более":)
Но о соотношении отрезков, заключенных МЕЖДУ сторонами угла, ни в одной, ни в другой теореме нет ни слова. Это уже следствие. Причем не только из теоремы Фалеса.
Спасибо за пример)
ОтветитьУдалитьКстати, могу поделиться ссылкой на онлайн-тесты ЗНО - http://zno.ua/online-testi-zno.html. Надеюсь, пригодятся в процессе подготовки
Play for fun: A look at the best casino slots, jackpots, - DRMCD
ОтветитьУдалитьIn addition to the games 대전광역 출장마사지 offered 나주 출장안마 by popular slot machines, there are also 진주 출장샵 some 토토사이트 bonus rounds 창원 출장마사지 for different slots. Play for fun: A look at the best casino slots, jackpots,