Разбор задачи 33: уравнение с логарифмом, синусом и корнем

Задача 33 Логарифмы, Тригонометрия, Корни, Уравнения
Найдите значение параметра а, при котором корень уравнения $\lg(\sin5\pi x)=\sqrt{16+a-x}$ принадлежит промежутку $\left(\frac{3}{2};2\right)$

Решение
Казалось бы, в школе вы таких уравнений, где в одной части логарифм, а в другой – корень, вы не решали. Задачи подобного типа из года в год встречаются в ЗНО и решаются с помощью логических рассуждений об областях значений левой и правой части.

Посмотрим на правую часть уравнения. Может ли она быть любой, или принимает только ограниченное множество значений? Т.к. это корень, то он неотрицателен: $\sqrt{16+a-x}\geq 0$

Теперь к левой части, разберём её по шага. Во-первых, синус принимает значения только между -1 и 1: $-1\leq\sin5\pi x \leq 1$
А логарифм числа, меньшего единицы, будет меньше нуля (или вовсе не существовать, если аргумент окажется отрицательным), так что для правой части имеем:
$\lg(\sin5\pi x)\leq 0$

Смотрите, что получается. Левая часть меньше, или равна нулю. А правая часть больше или равна нулю. Значит, равенство между левой и правой частями достигается только тогда, когда они одновременно будут равны нулю.

Поэтому исходное уравнение превращается в два:
$\lg(\sin5\pi x)=0$
$\sqrt{16+a-x}=0$

Как их решать по отдельности, в школьном курсе рассматривалось. Поехали!
Первое:
$\lg(\sin5\pi x)=0$
$\sin5\pi x=1$
$5\pi x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z$
$ x=\frac{1}{10}+\frac{2}{5} n, n\in Z$
$ x=0,1+0,4 n, n\in Z$

Второе:
$\sqrt{16+a-x}=0$
16 + a – x = 0
x = 16 + a

Приравниваем выражения для x:
$ 16 + a =0,1+0,4 n, n\in Z$
$ a =-15,9+0,4 n, n\in Z$

Теперь учтём требование того, чтобы х был в промежутке (1,5; 2). Т.к. x = 16 + a, то а = x - 16 и $a\in (-14,5;-14)$

Вот у нас 2 выражения для а:
$ a =-15,9+0,4 n, n\in Z$
$a\in (-14,5;-14)$
Надо подобрать такое целое n, чтобы выражение -15,9+0,4 n попало в промежуток (-14,5;-14). Тогда мы найдём нужное значение а.
Пробуем:
n = 0 => a = -15,9 – не подходит.
n = 1 => a = -15,5 – не подходит.
n = 2 => a = -15,1 – не подходит.
n = 3 => a = -14,7 – не подходит.
n = 4 => a = -14,3 – подошло!

Вот это и будет ответом.
Ответ: -14,3

Не могу не поделиться трогательной картинкой, которой сопроводила свою попытку решить

эту задачу ученица, чей бланк заданий я скопировал. Как видите, причин плакать тут нет. Задача хоть и, пожалуй, самая объёмная, тем не менее, решаемая без особых сложностей

P.S. Спасибо большое читателям, указавшим на ошибку в последнем действии!